完全替代函数

#数理经济学

定义：

f (x_{1}, x_{2}) = α x_{1} + β x_{2}

效用最大化

\begin{aligned} max_{{x_{1}, x_{2}}} & u = α x_{1} + β x_{2} \\ s.t. & p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \leq m \end{aligned}

①当 $\frac{α}{β} > \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} x_{1}^{M} & = \frac{m}{p_{1}} \\ x_{2}^{M} & = 0 \end{cases}

②当 $\frac{α}{β} < \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} x_{1}^{M} & = 0 \\ x_{2}^{M} & = \frac{m}{p_{2}} \end{cases}

③当 $\frac{α}{β} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} p x_{1}^{M} + p x_{2}^{M} = m \\ x_{1}^{M} \in [0, \frac{m}{p_{1}}] \\ x_{2}^{M} \in [0, \frac{m}{p_{2}}] \end{cases}

支出最小化

\begin{aligned} min & p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \\ s.t. & α x_{1} + β x_{2} \geq \bar{u} \end{aligned}

①当 $\frac{α}{β} > \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} x_{1}^{M} & = \frac{\bar{u}}{α} \\ x_{2}^{M} & = 0 \end{cases}

②当 $\frac{α}{β} < \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} x_{1}^{M} & = 0 \\ x_{2}^{M} & = \frac{\bar{u}}{β} \end{cases}

③当 $\frac{α}{β} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} α x_{1}^{M} + β x_{2}^{M} = \bar{u} \\ x_{1}^{M} \in [0, \frac{\bar{u}}{α}] \\ x_{2}^{M} \in [0, \frac{\bar{u}}{β}] \end{cases}

利润最大化

max p (α x_{1} + β x_{2}) - w_{1} x_{1} - w_{2} x_{2}

生产函数边际产出不变，在竞争性结构下（价格为常数）没有最优解。

成本最小化

\begin{aligned} min_{{x_{1}, x_{2}}} & w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} \\ s.t. & α x_{1} + β x_{2} \geq \bar{q} \end{aligned}

①当 $\frac{α}{β} > \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} x_{1}^{M} & = \frac{\bar{q}}{α} \\ x_{2}^{M} & = 0 \end{cases}

②当 $\frac{α}{β} < \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} x_{1}^{M} & = 0 \\ x_{2}^{M} & = \frac{\bar{q}}{β} \end{cases}

③当 $\frac{α}{β} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$ 时

{\begin{cases} α x_{1}^{M} + β x_{2}^{M} = \bar{q} \\ x_{1}^{M} \in [0, \frac{\bar{u}}{α}] \\ x_{2}^{M} \in [0, \frac{\bar{u}}{β}] \end{cases}

代入目标函数得到成本函数

c = min {\frac{w_{1}}{α}, \frac{w_{2}}{β}} \bar{q}

完全互补函数也是一种 CRS函数，成本函数满足 $c (q, w) = q \cdot c (1, w)$ 形式。生产一单位产品需要的要素为 $x_{1} = \frac{1}{α} \lor x_{2} = \frac{1}{β}$ ，对应的成本为 $min {\frac{w_{1}}{α}, \frac{w_{2}}{β}}$ ，从而直接得到成本函数。

几何规律：等产量曲线（无差异曲线）是直线，成本函数（支出函数）就是直角。